Auf der Spur des Unendlichen
Autor: Sentinel
Wir wollen uns heute etwas kognitiv autoimplizieren, das sich gar nicht in der kompletten Tragweite vorstellen lässt:
Die Unendlichkeit!
Nachdem ich diesen (zugegebenermaßen nicht ganz wissenschaftlich ausgedrückten) Beitrag zum renommierten Online-Lexikon "Stupidedia" gelesen habe, kam mir der Gedanke, es sei an der Zeit, meine Fertigkeiten in Sachen theoretischer Physik unter beweis zu stellen. Wer sich beschwert, ich würde mich aufblasen und rumschwallen, ist nicht verpflichtet meinen Ausführungen zu folgen.
http://www.stupidedia.org/stupi/Astronomie
Wenn wir nun unsererseits (wohlgemerkt vollkommen unabhängig vom Lexikografen) die Tatsache in Erwägung ziehen, dass nach mathematischen Axiomen "Parallelen sich in der Unendlichkeit schneiden", so muss man sich ins Gedächtnis rufen, unter welchen Bedingungen dies überhaupt zutreffen kann.
1. Ansatz: Die Ebene
Wir gehen vom einfachen zweidimensionalen Koordinatensystem aus, in der Form, wie es seit Generationen in der Schule unterrichtet wird. Nach der Metrik eines solchen Koordinatensystems müsste also eine "positive" Unendlichkeit und eine "negative" Unendlichkeit existieren. Der Nachteil dieses Gedanken wird uns bewusst, sobald wir zu dem Schluss kommen, dass zwei parallele Geraden sich nicht schneiden können, so lange es Abstände zwischen Koordinatenpunkten gibt.
Wie umgeht man diese also? Betrachten wir mal unsere Erde, so finden wir den
2. Ansatz: Die Kugel
Das Koordinatensystem einer Kugel eliminiert an exakt zwei Stellen sämtliche Abstände zwischen Punkten, nämlich an den Polen. Zumindest, so fern man die Kugel einteilt wie die Erde, mit Äquatoren und Meridianen. Dann nämlich entspricht der "Nordpol" der positiven Unendlichkeit und der "Südpol" der negativen. Damit lässt sich zum einen der Schnitt zweier Parallelen erklären als auch plausibel beweisen. Wer nämlich (analog dazu) vom (geografischen) nordpol aus 100 kilometer nach süden, dann 100 km nach osten und dann wieder 100km nach norden geht, befindet sich wieder am Nordpol.
Gleichzeitig kann man auf diese Weise eine Art mathematischer Antiwelt erfassen, die sich (bei Geraden und Graphen) durch eine Punktspiegelung im Raum durch den Kugelmittelpunkt symmetrisch anordnet. Nachteil dieser Methode wäre allerdings die Halbgerade. Dieser nämlich würde rund um die gesamte Kugel führen und letztlich am Ausgangspunkt auftreffen. Logische Konsequenz daraus wäre, dass dieses Element nicht existiert. Weiterhin ist damit die x-Achse nicht beschränkt, das heißt, dass eine Gerade, die wir mit der Formel y = 1 an der x-Achse entlang führen, ewig im positiven Bereich ist, während sie gleichzeitig auf der negativen Seite auftaucht. Wobei dieser Punkt sich allerdings durch die Quantenmechanik erübrigt, da dort ohnehin nichts bestimmt ist, aber das ist ein anderes Thema.
3. (und wohl letzter) Ansatz: Die Kugel - oder doch die Ebene?
Also erweitern wir die Kugel um ein besser ausgetüfteltes Koordinatensystem. Ab sofort existieren bei uns im Raum neben der positiven und negativen Unendlichkeit der y-Achse noch die positive und negative Unendlichkeit der x-Achse. Geografisch entspräche dies zwei neuen Polen, einem West- und einem Ostpol. Diese würden sich rechnerisch zum einen unweit nördlich vom Galápagos-Archipel (auf dem Schnittpunkt einer gedachten Linie von der Insel Marchena zur Nordspitze von San Cristóbal und einer gedachten Linie von der Stadt Villamil auf der Insel Isabela und der Stadt Colón am Panamakanal) und 1584 km Südöstlich von Jaffna auf Sri Lanka (Alternativ 3132 km Südlich von Thimpu, der Hauptstadt Bhutans) befinden. Allerdings - Auf diese Weise ist die Form einer Kugel nicht mehr notwendig. Für diese Einteilung würde eine einfache Kreisfläche ebenfalls reichen.
Abschließend kann gesagt werden: Keines der genannten Systeme kann als richtig bezeichnet werden, da es unwahrscheinlich ist, dass tausenden von Mathematikern und Physikern etwas verborgen bleibt, das einem (ab 06.03.2008) 18-Jährigen Gymnasiasten einfach so zufällt.
Nachtrag: Auch die Kreisflche hat den Nachteil, dass man keine Punkte zwischen (0|Inf) und (Inf|0) definieren kann. Der Punkt (Inf|Inf) mutiert so zu einem Viertel Kreisumfang des I. Quardanten.
wenn ich an die unendlichkeit denke, werd ich immer ganz schwindlig und wirr im kopf XDDD
..das überlass ich dann lieber den profis...wie dir XD
M.E. sind Formulierungen, wie 'Parallelen die sich in der Unendlichkeit schneiden/beruehren' eher didaktische Mittel um die menschlich begrenzte Auffassungsgabe ueber eben dieses Paradoxon zu formen, dem Verstand zu ermoeglichen eben 'unvorstellbare' mathematische Komplexe (die nichts desto trotz die Realitaet wiederspiegeln koennen - ausserhalb begrenzter menschlicher Wahrnehmungsfaehigkeit).
Nimm statt einer Kugel ein Moebiusband (und es ist sicher auch mathematisch moeglich eine Moebiuskugel, Moebius(3d)raum und hoeherdimensionale Moebiusraeume zu beschreiben) und versuche nocheinmal die 'Unendlichkeit' zu definieren.
Wenn du zur Untersuchung eine Kugel nimmst, dann musst du (leider) auch die entsprechenden Attribute des gewaehlten Raumes einbeziehen - was zum Beispiel in Bezug auf Halbgerade die Notwendigkeit der Richtungskomponente erzwingt - anders als bei der Geraden gehen dann die (unendlichen) Durchlaeufe durch den Meridian immer von einer Richtung aus.
Die Notwendigkeit einer Richtung bei der Betrachtung einer Halbgeraden in einem planem Raum mit unendlicher Ausdehnung ist nicht notwendig. In diesem Raum 'treffen' sich allerdings auch nicht die sich unendlich ausdehenenden 'Enden' einer Gerade.
Und nicht zu vergessen die Maechtigkeit der Unendlichkeit - obwohl ich unendlich oft um eine Kugel herumrennen kann so ist die Flaeche der Kuegel eben nicht unendlich - vergleichbar zu Vorstellungen eines gekruemmten Raum/Zeit Kontinuums - das eben 'begrenzte' Ausdehnung hat - wobei allerdings noch problematischer die mathematische Beschreibung der 'Raender' ist. Mathematisch ist es 'einfacher' von einem gekruemmt/geschlossenem Raum (vergleichbar einer Kugel) als einem gekruemmt/begrenzten Raum auszugehen (vergleichbar mit der Scheibentheorie der Erde, am Ende faellt man ins 'Nichts' - was aber Probleme mit dem Energieerhaltungssatz gibt).
Aber bis auf Douglas Adams ist noch niemand am Restaurant am Ende des Universums gewesen - es kann also keine definitive Aussage getroffen werden, ob/wie der Raum gekruemmt ist.
Daher möchte ich mal erwähnen, was ich so über Unendlichkeit denke. Man sollte nicht nur von sich aus denken, dass etwas anderes unendlich ist, sondern den Standpunkt des Betrachters sollte man durchaus dazuzählen.
Ich stelle mir das so vor: (es ist vielleicht nicht gerade mathematisch dargestellt, aber einfach genug um es anderen zu erklären ^^) Eine vollkommen asphaltierte Erde stellt die eine Dimension dar (idealerweise die dritte oder vierte). Wir, die in einem einzigen Auto sitzen, fahren eine Strecke entlang. Wir sehen nur bis zum Horizont, das ist für uns die 3. Dimension.
Aber wir wissen doch, dass die Welt hinter dem Horizont in der selben Dimension weitergeht. Wenn wir also immer rund herum fahren, dann wissen wir nie welcher Punkt der Ursprungspunkt der dritten Dimension ist, weil überall dieser Punkt sein könnte. Wir fahren immer öfter um die Kugel, um es heraus zu finden. Mit genug Benzin im Tank fragen wir uns dann: Warum hört diese Kugel nicht auf?
Ok ist nicht wirklich anschaulich (ich hätte mir die Theorie wirklich aufschreiben sollen ><)
Aber letztendlich muss man sich dann fragen, ob der Betrachter sich in der Unendlichkeit befinden muss, um es als Unendlichkeit zu bezeichnen. Ist also nichts unendlich, wenn man weiß, dass es das ist?
Verdammt, das ist verwirrend. ><
Ich versuche mal meine alte Theorie neu zu entwerfen und aufzuschreiben, die stell ich dann hier rein. ^^